Функциональные уравнения, которые выражают связь между значением неизвестной функции (функций) в одной точке с её же значениями в других точках, некоторое время назад были довольно популярными на школьных математических олимпиадах. Это и не удивительно, ведь такие уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами.
Учитывая сказанное, последующее изложение содержит многочисленные примеры, которые потребуют от вас внимания и сосредоточенности.
Итак, чтобы получить общее решение функционального уравнения в Вольфрам Альфа, в большинстве случаев достаточно просто ввести его в систему. В результате система выведет общее решение функционального уравнения, содержащее произвольную постоянную С:
2f(x)-f(x/2)=3x^2
Однако, на практике, чтобы решить функциональное уравнение в запросе следует использовать ключевое слово solve. В этом случае Вольфрам Альфа выведет результат в более компактном виде (сравните с предыдущим):
solve 2f(x)-f(x/2)=3x^2
В некоторых случаях, для Вольфрам Альфа требуется явно указать функцию, относительно которой следует решить данное функциональное уравнение. Проще всего это делается так:
solve f(x)-1/2f(x/2)=x^2 for f(x)
Чтобы получить частное решение функционального уравнения, следует указать начальное условие, которое позволит системе исключить произвольную постоянную С из решения уравнения. Следующий пример иллюстрирует эту возможность:
f(x)-1/2f(x/2)=x^2, f(0)=0
Вот еще один аналогичный пример. Я привожу его исключительно для того, чтобы закрепить навык и еще раз проиллюстрировать возможности Вольфрам Альфа по нахождению частного решения функционального уравнения:
f(x)-1/2f(x/2)=x, f(1)=2
Кроме того, для получения частного решения функционального уравнения используется такая (полная) форма запроса:
solve f(x)-1/2f(x/3)=x^2 where f(1)=0
Преимущества использования системы Вольфрам Альфа для решения функциональных уравнений становятся очевидными, когда ставится задача «исследовать, как меняется решение функционального уравнения в зависимости от вида его правой части». Вот три примера для внимательного сравнения:
solve f(x)-1/2f(x/2)=x
solve f(x)-1/2f(x/2)=x^2
solve f(x)-1/2f(x/2)=x^3+2
Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют.
Например, с помощью Вольфрам Альфа легко проверить, что этому уравнению удовлетворяют:
f(x+y)=f(x)+f(y) — все линейные однородные функции;
f(x+y)=f(x)f(y) — показательные функции (аддитивное уравнение Коши);
f(xy)=f(x)+f(y) — все логарифмические функции;
f(x+y)+f(x-y)=2 — квадратичная функция (закон параллелограмма);
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) — уравнение Даламбера, которому удовлетворяют обычный и гиперболический косинус;
…
К сожалению, универсального алгоритма решения функциональных уравнений не существует. Видимо поэтому, в настоящее время Вольфрам Альфа решает еще не все известные типы функциональных уравнений.
Так, например, с помощью Вольфрам Альфа мне не удалось получить общее решение уравнения Йенсена f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2, которому, как всем известно, удовлетворяют все линейные функции вида f(x)=ax+b. То же самое касается и уравнения Лобачевского (версия уравнения Йенсена) f(x+y)f(x-y)=(f(x))^2, общим решением которого являются функции вида f(x)=a*c^x. В то же время, с уравнением Пексидера k(x+y) = g(x) +h(y), которое содержит аж три неизвестных функции, Вольфрам Альфа справляется без проблем:
А вот вам на закуску еще три поучительных примера.
Первый — иллюстрирует еще один способ представления решения в Вольфрам Альфа:
solve f(x)+2f(1/x)=3х
Следующие два наглядно показывают, насколько решение функционального уравнения зависит «всего лишь» от одного знака:
solve f(x)-2f(x/2)=3х
solve f(x)+2f(x/2)=3х
Пожалуй, на этом пока все.
Хорошая статья по функциональным уравнениям лежит здесь (PDF). Некоторые примеры для этого поста я взял как раз из этой статьи.
Если вам понравился это пост, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Вычисление интегралов и их применение — самая популярная на сегодня тема в блоге ”Wolfram|Alpha по-русски”.
В блоге ”Wolfram|Alpha по-русски” на тему интегралов существует отдельный раздел, который называется Интегральное исчисление.
Кроме теоретических аспектов интегрального исчисления, то есть собственно вычисления интегралов, существуют еще и практические, прикладные аспекты применения интегралов. Например, это вычисление площади фигуры, приближеннное вычисление «неберущихся» интегралов и другие, которые отнесены в раздел Прикладная математика.
Далее приводится список основных публикаций блога ”Wolfram|Alpha по-русски” на тему интегралов и их применения. А также на связанную с этим тему решения дифференциальных уравнений из раздела Дифференциальные уравнения.
Вот те публикации, на которые я хочу обратить ваше особое внимание. Здесь они расположены не в хронологическом порядке, а так, как я рекомендую их прочитать. Каждая из них заслуживает вашего внимания, поскольку раскрывает определенный аспект применения Wolfram|Alpha, как инструмента интегрирования:
- Неопределенный интеграл в Wolfram|Alpha
- Определенный интеграл в Wolfram|Alpha
- Несобственные интегралы в Wolfram|Alpha
- Численное интегрирование в Wolfram|Alpha
- Калькулятор интегралов в Wolfram|Alpha
- Как найти площадь плоской фигуры в Wolfram|Alpha
- Как найти площадь фигуры ограниченной кривыми линиями
- Как найти длину дуги кривой линии в Wolfram|Alpha
- Двойной интеграл в Wolfram|Alpha
- Калькулятор двойных интегралов в Wolfram|Alpha
- Тройной интеграл в Wolfram|Alpha
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Wolfram|Alpha
Вопросам решения дифференциальных уравнений и их систем, а также прикладным вопросам применения дифференциальных уравнений, в частности, вопросам математического моделирования, о которых также идет речь в блоге ”Wolfram|Alpha по-русски” в разделе Математическое моделирование, со временем будет посвящен отдельный пост.
ЭЛЕКТРОННЫЕ СРЕДСТВА ПОДДЕРЖКИ ОБУЧЕНИЯ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ WOLFRAMALPHA ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ
Д.А. Власов1, А.В. Синчуков2, Г.А. Качалова1
!Кафедра точных и естественных наук Московский государственный гуманитарный университет им. М.А. Шолохова Верхняя Радищевская ул., 16-18, Москва, Россия, 109240
2Кафедра высшей математики Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Краснопрудная ул., 14, Москва, Россия, 107140
Рассмотрены особенности использования WolframAlpha — нового математического онлайн-процессора, позволяющего при условии методически целесообразного использования в учебном процессе существенно повысить качество математической и методической подготовки будущего учителя математики и информатики в системе бакалавриата и магистратуры.
Ключевые слова: WolframAlpha, задачи с параметрами, подготовка будущего учителя математики и информатики, информационные технологии, информатизация.
В условиях математизации и информатизации всех отраслей знаний и деятельности рынок труда предъявляет повышенные требования к информационной и математической подготовке выпускников (как в общекультурном, методологическом аспектах, так и в аспекте инструментальной компетентности), что должно находить отражение в системе подготовки будущих учителей математики в бакалавриате и магистратуре.
На кафедре точных и естественных наук МГГУ им. М.А. Шолохова к настоящему времени накоплен богатый педагогический опыт интеграции информационных и педагогических технологий на основе использования нового математического онлайн-процессора WolframAlpha и специально создано новое методико-технологическое обеспечение нескольких учебных дисциплин математической
и методической подготовки бакалавров (направление 050100 «Педагогическое образование», профили «Математическое образование» и «Информатика и ИКТ в образовании») и магистров (050100 «Педагогическое образование»).
В рамках данной статьи на трех конкретных примерах будут рассмотрены особенности использования «^ИтатАрЪа в учебном процессе на примере элективного курса «Задачи с параметрами», специально созданного для усиления ин-тегративной и прикладной подготовки будущего учителя математики и информатики.
Отметим, что параметр (от греч. рагаше1геб меряю, сопоставляя) — величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению, к другой задаче меняющая свое значение. Другими словами, параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи. Задачи с такими особыми величинами принято называть задачами с параметрами (параметрическими задачами). Особый класс задач — задачи с параметрами, присутствующий в ГИА и ЕГЭ, традиционно считается сложным, трудным для большинства школьников, студентов, молодых учителей. Причины этого нам представляются в разнообразии типов задач с параметрами и методов их решения, нетрадиционности формулировок самих заданий, искусственной изолированности содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» в системе содержательно-методических линий школьного и вузовского курсов математики.
В связи с широким внедрением информационных технологий в учебный процесс особую актуальность приобретает вопрос: насколько они способны помочь школьнику, студенту, учителю математики? В контексте содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» вопрос звучит так: позволяют ли ИТ полностью решить задачу с параметром, более глубоко проникнуть в суть задач с параметром, интерпретировать полученный результат, делать обобщения и формулировать выводы?
Далее представим читателю и проанализируем три типовые задачи с параметром, на основе которых можно сформировать представление о дидактических и инструментальных возможностях WolframAlpha.
Задача 1. Решить уравнение a2х = a (х + 2) — 2 при всех значениях параметра а.
Решение. Обратим внимание, что данное уравнение линейно относительно переменной х. После группировки по степеням х, получим: a (а -1)х = 2a — 2 . Далее выделим 3 принципиальных случая.
, Га Ф 0 2
1 1 , , * = — Качалова Г.А. Задачи с параметрами как средство развития математической культуры будущего учителя математики // Наука и школа. — 2013. — № 3. — С. 27—30.
Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. — М.: Экзамен, 2009.
Jesse Russell Wolfram Alpha. — M.: Print-on-Demand, 2012.
Miroshin V. V. Reshenie zadach s parametrami. Teorija i praktika. — M.: Jekzamen, 2009.
Jesse Russell Wolfram Alpha. — M.: Print-on-Demand, 2012.
WOLFRAMALPHA USE WHEN TRAINING IN THE SOLUTION OF TASKS WITH PARAMETERS
D.A. Vlasov1, A.V. Sinchukov2, G.A. Kachalova1
1Chair of exact and natural sciences The Moscow state humanitarian university named after M.A. Sholokhov
Verkhnyaya Radishchevskaya str., 16-18, Moscow, Russia, 109240